Question

已知點O是邊長為2的正方形ABCD的中心，動點E、F分別在邊AB、AD上移動（含端點）．
（1）如圖1，若∠EOF=90°，試證：OE=OF；
（2）如圖2，當∠EOF=45°時，設BE=x，DF=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）在滿足（2）的條件時，試探究直線EF與正方形ABCD的內切圓O的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠AOD-∠AOF=∠EOF-∠AOF證明△AOE≌△DOF后即可證得OE=OF．
（2）易證得△BEO∽△DOF，利用線段比求出OB的值．
（3）由（2）的結論證△BEO∽△OEF，可得EF與⊙O相切．
解答：（1）證明：在正方形ABCD中，∠EAO=∠FDO=45°，AO=OD，∠AOD=90°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠AOD-∠AOF=∠EOF-∠AOF，即∠AOE=∠DOF．
在△AOE和△DOF中，
∴△AOE≌△DOF．（ASA）
∴OE=OF．

（2）解：在△BEO和△DOF中，
∠EOB+∠BEO=∠EOB+∠DOF=135°，
∴∠BEO=∠DOF．
又∠EBO=∠ODF=45°，
∴△BEO∽△DOF．
∴．
∵BE=x，DF=y，，
∴，
∴．

（3）解：EF與⊙O相切
證明：∵△BEO∽△DOF，
∴．
又DO=OB，
∴．
∵∠EBO=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF．
∴∠BEO=∠OEF．
∴點O到AB的距離等于點O到EF的距離．
∵AB與⊙O相切，
∴點O到EF的距離等于半徑R．
∴EF與⊙O相切．
點評：本題考查了相似三角形，勾股定理以及全等三角形判定等有關知識點，難度中上．