Question

【題目】如圖，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點，某教學興趣小組在進行研究時，由“黃金分割點”聯想到“黃金分割線”，類似的給出“黃金分割線”的定義：“一直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱這條直線為該圖形的黃金分割線．

如圖，在中，，，的平分線交于點，請問直線是不是的黃金分割線，并證明你的結論；

如圖，在邊長為的正方形中，點是邊上一點，若直線是正方形的黃金分割線，求的長．

Answer 1

【答案】直線是的黃金分割線，理由見解析；（2）長為．

【解析】

（1）如圖2，根據等高三角形的面積比等于底的比可得，，

要證直線CD是△ABC的黃金分割線，只需證，只需證，易證BC=AD，只需證，只需證△BCD∽△BAC即可；
（2）設BE=x，如圖3，易得，，．由直線AE是正方形ABCD的黃金分割線可得，由此得到關于x的方程，解這個方程就可解決問題．

解：直線是的黃金分割線．

理由：如圖，

∵，，

∴．

∵平分，

∴，

∴，，

∴，，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴直線是的黃金分割線；

設，如圖，

∵正方形的邊長為，

∴，，

∴．

∵直線是正方形的黃金分割線，

∴，

∴，

∴，

整理得：，

解得：，．

∵點是邊上一點，

∴，

∴，

∴長為．