Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=8，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O切CD于點E．
（1）若設AD=x，BC=y，試求出y與x之間的函數關系式；
（2）如圖2，BE的延長線交AD的延長線于點F．求證：AD=AF；
（3）如圖3，若AD=2，BC=8．動點P以每秒1個單位長的速度，從點B沿線段BC向點C運動；同時點Q以相同的速度，從點D沿折線D-A-B向點B運動．當點P到達點C時，兩點同時停止運動．過點P作直線PM⊥BC與折線B-D-C的交點為M．點P運動的時間為t（秒）．點P在線段BC上運動時，是否可以使得以D、M、Q為頂點的三角形為直角三角形，若可以，請求出t的值；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作DF⊥BC于F，根據切線長定理得到DE=DA=x，CE=CB=y，在Rt△DFC中，利用勾股定理即可得到x，y的關系；
（2）連AE，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠AEB=90°，而DA=DE，得到∠DAE=∠DEA，根據等角的余角相等得到∠F=∠DEF，則DE=EF，即可得到結論；
（3）分類討論：當0＜t≤2，當AQ=BP時，∠MQD=90°；當2＜t≤8，分若∠QDM=90°，或∠QMD=90°，或∠DQM=90°進行討論，構建三角形相似列出t的方程求解．
解答：（1）解：過D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴AD和BC為⊙O的切線，
而CD為⊙O的切線，
∴DE=DA=x，CE=CB=y，
而DF=AB=8，FC=y-x，
∴（x+y）²=8²+（x-y）²，
∴y=；

（2）證明：連AE，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
而DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
而∠DAE+∠F=∠DEA+∠DEF=90°，
∴∠F=∠DEF，
∴DE=DF，
∴AD=AF；

（3）解：當0＜t≤2，
∵DQ=t，BP=t，
∴當AQ=BP時，∠MQD=90°，
∴t+t=2，
∴t=1；
當2＜t≤8，
若∠QDM=90°，如圖，
∴∠AQD=∠C，
∴Rt△AQD∽Rt△PCM，
∴AD：PM=AQ：PC，即AD：AQ=PM：PC，
而PM：PC=DF：FC=8：6=4：3，
∵AQ=t-2，
∴2：（t-2）=4：3，
∴t=；
若∠QMD=90°，如圖，
過M作MH⊥AB，
∴∠HQM=∠C，
∴Rt△HQM∽Rt△PCM，
∴MH：MP=HQ：PC，即HM：HQ=MP：PC，
∴HM：HQ=MP：PC=DF：FC=4：3，
PC=8-t，PM=（8-t），
而MH=t，QH=BH-BQ=（8-t）-（10-t）=-t，
∴t：（-t）=4：3，
∴t=＜2，舍去．
當∠DQM=90°，如圖，
過M作MH⊥AB于H點，則PM=（8-t），MN=t，AQ=t-2，
∴QH=8-（t-2）-（8-t）=t-，
∴Rt△AQD∽Rt△HMQ，
∴AD：QH=AQ：HM，即2：（t-）=（t-2）：t，
∴t²-10t+4=0，t=5±，
∴t=5+＞8（舍）．
點評：本題考查了三角形相似的判定與性質；也考查了直角梯形的性質和切線的性質以及分類討論思想的運用．