Question

如圖．已知△ABC的垂心為H．外接圓⊙O，M為AB的中點．連接MH并延長交⊙O于D．求證：HD⊥CD．

Answer 1

證明：如圖．作⊙O直徑CE．連接AE、BE、AH、BH．
∵BE⊥BC（直徑所對的圓周角是90°），AH⊥BC（H是△ABC的垂心），
∴BE∥AH（垂直于同一條直線的兩條直線平行），
同理，EA∥BH，
∴四邊形AHBE是平行四邊形，
∴EH與AB交點和M重合，
∴E、M、H、D四點共線，
∴∠D等于90°（直徑所對角是90°），
即HD⊥CD．
分析：作輔助線“作⊙O直徑CE．連接AE、BE、AH、BH”構造平行四邊形AHBE，所以EH是平行四邊形AHBE的對角線，即E、M、H、D四點共線，∴∠D是直徑EC所對的圓周角，然后根據圓周角定理求證HD⊥CD．
點評：本題綜合考查了圓周角定理、三角形的高（垂心）、平行四邊形的判定與性質．本題通過作輔助線“作⊙O直徑CE．連接AE、BE、AH、BH”，將隱含在題目中的“E、M、H、D四點共線”挖掘出來，從而“∠D是直徑EC所對的圓周角”顯現出來了．