Question

已知，O為正方形ABCD對角線上一點，以O為圓心，OA的長為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若⊙O的半徑為，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OM，過O作ON于CD垂直，由BC與圓O相切，根據切線性質得到OM與BC，又正方形ABCD，AC為角平分線，根據角平分線定理得到OM=ON，故CD與圓O相切；
（2）根據垂直于同一條直線的兩直線平行得到OM與AB平行，得到兩對同位角相等，從而得到△ABC∽△OMC，設正方形的邊長為a，由圓O的半徑，列出比例式得到關于a的方程，求出方程的解得到a的值即為正方形的邊長．
解答：（1）證明：連接OM，過點O作ON⊥CD，垂足為N．（1分）
∵⊙O與BC相切于M，∴OM⊥BC．（2分）
∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，∴OM=ON．（3分）
∴CD與⊙O相切；（4分）

（2）解：設正方形ABCD的邊長為a．
顯然OM∥AB，∴∠OMC=∠B，∠MOC=∠BAC，
∴△COM∽△CAB，（5分）
∴，即（6分）
解得a=，（7分）
∴正方形ABCD的邊長為．
點評：此題考查了切線的性質與判斷，正方形的性質以及相似三角形的性質與判斷．其中切線的證明方法有兩種：1、已知點，連接此點與圓心，證明夾角為直角；2、未知點，作垂線，證明垂線段等于半徑．