Question

如圖，在平面直角坐標系中，有一矩形ABCD，已知A（1，3），B（3，3），D（1，-1）．有兩條拋物線l₁、l₂都經過A、B兩點，且關于AB所在直線對稱，其中拋物線l₁經過原點，拋物線l₂交y軸于點E．設P、Q兩點分別在拋物線l₁、l₂上運動．
（1）求拋物線l₁的解析式．
（2）直接寫出拋物線l₂的解析式．
（3）當四邊形ADPQ為平行四邊形時，求點P的橫坐標．
（4）當點P運動到拋物線l₁的頂點時，設直線PQ的解析式y=kx+b．
①若直線PQ經過點D，交線段AB于F，求△ADF的面積．
②若直線PQ分得矩形ABCD較小部分的面積大于0且不超過矩形ABCD面積的，直接寫出b的取值范圍．
【參考公式：二次函數y=ax²+bx+c圖象的頂點坐標為（-，）】

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線l₁經過原點，可將其解析式設為y=ax²+bx，代入A、B兩點的坐標后，利用待定系數法即可得解．
（2）拋物線l₁、l₂關于直線AB對稱，那么它們的開口大小相同、開口方向相反（即二次項系數互為相反數），頂點關于直線AB對稱；所以先根據l₁的頂點得到l₂的頂點坐標，再直接將拋物線l₂寫成頂點式即可．
（3）“四邊形ADPQ”說明了四邊形的頂點排序，即：AD、PQ為平行四邊形的邊，所以AD∥PQ，且PQ=AD，因此PQ與y軸平行（P、Q兩點橫坐標相同），首先設出P、Q點的坐標，得到線段PQ長的表達式后，令其值等于AD長，通過解方程即可確定P點的坐標．
（4）①直線PQ經過點D，即P、Q、D三點共線，所以題干條件也可視為“直線DP與AB的交點為F”，所以先求出直線DP的解析式，直線AB的解析式易知，則F點坐標可得，以AD、DF為直角邊，則△ADF的面積可求；
②通過①的答案不難發現：△ADF的面積恰好是矩形面積的，所以求出直線PA、PD、PB、PC的解析式后，再觀察b的取值范圍即可．
解答：解：（1）依題意，設拋物線l₁：y=ax²+bx，代入A（1，3），B（3，3），得：
，解得
∴拋物線l₁：y=-x²+4x．

（2）由（1）知，拋物線l₁的頂點（2，4），則拋物線l₂頂點（2，2）；
拋物線l₁、l₂關于直線AB對稱，則拋物線l₂：y=-（x-2）²+2=x²-4x+6．

（3）當四邊形ADPQ為平行四邊形時，AD、PQ為平行四邊形的邊，則PQ∥y軸，且PQ=AD=4；
設P（x，-x²+4x），則Q（x，x²-4x+6），PQ=x²-4x+6-（-x²+4x）=2x²-8x+6
依題意，有：2x²-8x+6=4，解得x=2±
∴點P的橫坐標為2±．

（4）由（2）知，點P的坐標（2，4）；
①直線PQ：y=kx+b，代入P（2，4）、D（1，-1），得：
，解得
∴直線PQ即直線PD：y=5x-6，點F（，3）；
∴S_△ADF=×（-1）×4=．
②由①的計算結果知，右圖每個陰影部分的面積都“大于0且不超過矩形ABCD面積的”；
由P（2，4）、A（1，3）、D（1，-1）、C（3，-1）、B（3，3），可得：
直線PA：y=x+2，直線PD：y=5x-6；
直線PB：y=-x+6，直線PC：y=-5x+14；
因此，b的取值范圍：-6≤b＜2或6＜b≤14．
點評：此題主要考查了利用待定系數法確定函數解析式、軸對稱圖形的性質、平行四邊形的判定、三角形的面積等重點知識；（3）題中，注意題干給出的四邊形的頂點排序能大大減小計算難度；最后一題的難度較大，找出對應的四條直線是解題的關鍵，此外還用注意“不超過”包含的不等式關系．