Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-

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x+b(b＞0)分別交x軸，y軸于A，B兩點，以OA，OB為邊作矩形OACB，D為BC的中點．以M（4，0），N（8，0）為斜邊端點作等腰直角三角形PMN，點P在第一象限，設矩形OACB與△PMN重疊部分的面積為S．
（1）求點P的坐標．
（2）若點P關于x軸的對稱點為P′，試求經過M、N、P′三點的拋物線的解析式．
（3）當b值由小到大變化時，求S與b的函數關系式．
（4）若在直線y=-

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x+b(b＞0)上存在點Q，使∠OQM等于90°，請直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）作出作PK⊥MN于K，利用等腰三角形的性質得出KO的長，即可出P點的坐標；
（2）利用關于x軸對稱的性質得出P′點的坐標，再利用交點式求出二次函數解析式即可；
（3）分別利用當0＜b≤2時，當2＜b≤3時以及當3＜b＜4時和當b≥4時結合圖象求出即可；
（4）以OM為直徑作圓，當直線y=-

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x+b(b＞0)與此圓相切時，b=

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+1得出即可．

解答：解：（1）作PK⊥MN于K，則PK=KM=

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NM=2．
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）∵點P關于x軸的對稱點為P′，
∴P′點的坐標為：（6，-2），
∵M（4，0），N（8，0），
∴代入二次函數解析式得出：y=a（x-4）（x-8），
∴-2=a（6-4）（6-8），
∴a=

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，
∴經過M、N、P′三點的拋物線的解析式為：y=

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（x-4）（x-8）；


（3）當0＜b≤2時，如圖，S=0．

當2＜b≤3時，如圖，

設AC交PM于H．AM=HA=2b-4．
∴S=

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(2b-4)2．
即S=2（b-2）²或S=2b²-8b+8．
當3＜b＜4時，如圖，

設AC交PN于H．NA=HA=8-2b．
∴S=-2（4-b）²+4或S=-2b²+16b-28．
當b≥4時，如圖，

S=4．

（4）0＜b≤

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+1．（提示：以OM為直徑作圓，當直線y=-

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x+b(b＞0)與此圓相切時，b=

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+1．）

點評：此題主要考查了利用交點式求二次函數解析式以及三角形面積求法等知識，結合圖形利用自變量的取值范圍進行分類討論是解決問題的關鍵，注意不要漏解．