Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，⊙O過正方形的頂點A和對角線的交點P，分別交AB、AD于點F、E．
（1）求證：DE=AF；
（2）若⊙O的半徑為

3

2

，AB=

2

+1，求

AE

ED

的值．

Answer 1

分析：（1）連接EF、EP、FP，由四邊形ABCD為正方形，則∠BAD=90°，∠BPA=90°，得到∠FPE=90°，所以∠BPF=∠APE，易證△BPF≌△APE，則BF=AE，即可得到DE=AF；
（2）連EF，由∠BAD=90°，得到EF為⊙O的直徑，即EF=

3

，所以AF²+AE²=EF²=（

3

）²=3，而DE=AF，所以DE²+AE²=EF²=（

3

）²=3；
再由AD=AE+ED=AB=

2

+1，這樣得到關于DE，AE的方程組，解方程組求出DE，AE，即可得到

AE

ED

的值．

解答：（1）證明：連接EP、FP，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，∠BPA=90°
∴∠FPE=90°，
∴∠BPF=∠APE，
又∵∠FBP=∠PAE=45°，
∴△BPF≌△APE，
∴BF=AE，
而AB=AD，
∴DE=AF；

（2）解：連EF，
∵∠BAD=90°，
∴EF為⊙O的直徑，
而⊙O的半徑為

3

2

，
∴EF=

3

，
∴AF²+AE²=EF²=（

3

）²=3①，
而DE=AF，
DE²+AE²=3；
又∵AD=AE+ED=AB，
∴AE+ED=

2

+1②，
由①②聯立起來組成方程組，解之得：AE=1，ED=

2

或AE=

2

，ED=1，
所以：

AE

ED

=

2

2

或

AE

ED

=

2

．

提示：（1）連接EF、EP、FP，可證明△AEP≌△BFP
（2）設：AE=x，ED=AF=y
可得：x+y=

2

+1和x²+y²=3，
解得x=

2

，y=1或x=1，y=

2

，
所以：

AE

ED

=

2

2

或

AE

ED

=

2

．

點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了直徑所對的圓周角為直角、圓內接四邊形的性質、正方形的性質以及方程組的解法．