Question

在銳角三角形紙片ABC中，BC=4，高AD=3，直線EF∥BC，分別交線段AB，AC，AD于E，F，G，設EF=x．
（1）求線段AG的長（用含x的代數式表示）；
（2）將紙片沿直線EF折疊，設點A落在平面上的點為P，△PEF與四邊形BCFE重疊部分的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，進而得出，求出即可；
（2）根據當0＜x≤2時，當2＜x＜4時，分別利用三角形面積求法以及相似三角形的性質得出即可．
解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥EF，
∴，
∵BC=4，AD=3，EF=x，
∴AG=GP=；

（2）如圖1，2，當0＜x≤2時，∵AG=x，
∴y=×x×x=x²，
如圖3，當2＜x＜4時，
∵AG=GP=，AD=3，
∴DP=
∵EF∥BC，
∴△PMN∽△PEF，
∴，
∴MN=2x-4，
∴y=S_△PEF-S_△PMN==，
或∵EF∥BC，
∴△PMN∽△PEF，
∵AP⊥MN，EF，
∴，
而，
∴，
∴y=S_△PEF-S_△PMN=．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及三角形面積求法等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．