Question

已知：⊙O₁與⊙O₂外切于點P，過點P的直線分別交⊙O₁、⊙O₂于點B、A，⊙O₁的切線BN交⊙O₂于點M、N，AC為⊙O₂的弦．
（1）如圖（1），設弦AC交BN于點D，求證：AP•AB=AC•AD；
（2）如圖（2），當弦AC繞點A旋轉，弦AC的延長線交直線BN于點D時，試問：AP•AB=AC•AD是否仍然成立？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）過點P作兩圓的切線EF，連接CP并延長交⊙O₁于點G，連接BG．根據弦切角定理可以證明∠C=∠B，從而證明△APC∽△ADB，再根據相似三角形的性質即可證明；
（2）過點P作兩圓的切線EF，連接NP并延長交⊙O₁于點G，連接BG．根據弦切角定理和三角形的外角的性質證明∠APC=∠D，從而根據兩角對應相等得到△APC∽△ADB，再根據相似三角形的性質即可證明．

解答：
解：（1）過點P作兩圓的切線EF，連接CP并延長交⊙O₁于點G，連接BG．
∴∠1=∠C，∠2=∠G．
∵⊙O₁的切線BN交⊙O₂于點M、N，
∴∠3=∠G．
又∠1=∠2，
∴∠C=∠3．
又∠CAP=∠BAD，
∴△APC∽△ADB．
∴

AP

AD

=

AC

AB

，
即AP•AB=AC•AD．

（2）過點P作兩圓的切線EF，連接NP并延長交⊙O₁于點G，連接BG．連接CP，
則∠APF=∠BPE=∠PBN=∠D+∠A，∠CPF=∠A，
則∠APC=∠D．
又∠PAC=∠DAB，
∴△APC∽△ADB．
∴

AP

AD

=

AC

AB

，
即AP•AB=AC•AD．

點評：作兩圓的公切線是相切兩圓中常見的輔助線之一．熟練運用弦切角定理、相似三角形的判定和性質．