Question

如圖，四邊形AOBC為直角梯形，OC=

5

，OB=5AC，OC所在的直線方程為y=2x，平行于OC的直線l為：y=2x+t，l由A點平移到B點時，l與直角梯形AOBC兩邊所圍成的三角形的面積記為S．
（1）求點C的坐標；
（2）求t的取值范圍；
（3）求出S與t之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）因為OC=

5

，OB=5AC，OC所在的直線方程為y=2x，所以可設點C坐標為（x，y），根據勾股定理可得x²+y²=5，再把y=2x代入，即可求出x的值，進而求出答案；
（2）因為平行于OC的直線l為：y=2x+t，l由A點平移到B點，由（1）求出OB的長，即求出了B的坐標，然后分別求出直線過點A（0，2），點B（5，0）時的值，就求出了t的最大值和最小值，從而求出t的范圍；
（3）根據直線和OC的位置關系，需個情況討論：
①當0≤t≤2時，求出l與y軸交于F（0，t），連接OC，利用l∥OC，得到相似三角形，即可找出面積間的關系S：（2×1÷2）=（2-t）²：2²，求出答案；
②當-10≤t≤0時，求出l與x軸交于E（-

t

2

，0），利用l∥OC，得到相似三角形，即可找出面積間的關系

S

1 2 ×5×2

=（

5+ t 2

5

）²，求出答案．

解答：解：（1）設點C坐標為（x，y），根據題意，得：
x²+y²=5，
又因OC所在的直線方程為y=2x，
∴（2x）²+x²=5，
∴x₁=1，x₂=-1（舍去），
∴C（1，2）；

（2）∵C（1，2），
∴OA=2，AC=1，OB=5AC=5，
∴B（5，0），
若y=2x+t過點A（0，2），則t=2，
若y=2x+t過點B（5，0），則t=-10，
∴-10≤t≤2；

（3）有兩種情況：
①當0≤t≤2時，
l與y軸交于F（0，t），連接OC，
∵l∥OC，OF=t，AF=2-t，
∴S：（2×1÷2）=（2-t）²：2²，
∴S=

1

4

（2-t）²
②當-10≤t≤0時，
∵l與x軸交于E（-

t

2

，0），
∴OE=-

t

2

，BE=5+

t

2

，
∵l∥OC
∴

S

1 2 ×5×2

=（

5+ t 2

5

）²，
∴S=

1

5

（5+

1

2

t）²．

點評：本題需仔細分析題意，結合圖象，利用平行線間的關系、勾股定理、分情況討論即可解決問題．