Question

已知，△ABC是邊長3cm的等邊三角形．動點P以1cm/s的速度從點A出發，沿線段AB向點B運動．
（1）如圖1，設點P的運動時間為t（s），那么t=______（s）時，△PBC是直角三角形；
（2）如圖2，若另一動點Q從點B出發，沿線段BC向點C運動，如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發．設運動時間為t（s），那么t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（3）如圖3，若另一動點Q從點C出發，沿射線BC方向運動．連接PQ交AC于D．如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發．設運動時間為t（s），那么t為何值時，△DCQ是等腰三角形？
（4）如圖4，若另一動點Q從點C出發，沿射線BC方向運動．連接PQ交AC于D，連接PC．如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發．請你猜想：在點P、Q的運動過程中，△PCD和△QCD的面積有什么關系？并說明理由．

Answer 1

解：（1）當△PBC是直角三角形時，∠B=60°，
∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，
所以t=

（2）當∠BPQ=90°時，BP=0.5BQ，
3-t=0.5t，所以t=2；
當∠BQP=90°時，BP=2BQ，
3-t=2t，所以t=1；
所以t=1或2（s）

（3）因為∠DCQ=120°，當△DCQ是等腰三角形時，CD=CQ，
所以∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，
又因為∠A=60°，
所以AD=2AP，2t+t=3，
解得t=1（s）；

（4）相等，如圖所示：

作PE垂直AD，QG垂直AD延長線，因為，
所以△EAP≌△GCQ（AAS），
所以PE=QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面積相等．
分析：（1）當△PBC是直角三角形時，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；
（2）因為∠B=60°，可選取∠BPQ=90°或∠BQP=90°，然后根據勾股定理計算出BP長，即可算出t的大�。�
（3）因為∠DCQ=120°，當△DCQ是等腰三角形時，CD=CQ，然后可證明△APD是直角三角形，即可根據題意求出t的值；
（4）面積相等．可通過同底等高驗證．
點評：本題主要考查對于勾股定理的應用和等腰三角形的判定，還要注意三角形面積的求法．