Question

如圖a、b在平行四邊形ABCD中，∠BAD，∠ABC的平分線AF，BG分別與線段CD兩側的延長線（或線段CD）相交于點F，G，AF與BG相交于點E．
（1）在圖a中，求證：AF⊥BG，DF=CG；
（2）在圖b中，仍有（1）中的AF⊥BG，DF=CG成立．請解答下面問題：
①若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的長；
②是否能給平行四邊形ABCD的邊和角各添加一個條件，使得點E恰好落在CD邊上且△ABE為等腰三角形？若能，請寫出所給條件；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由平行線的性質及角平分線的性質即可證明結論；
（2）①由平行線的性質可得相似三角形，得出各邊的長，進而再求解直角三角形即可；
②根據（1）、（2）的條件，滿足點E恰好落在CD邊上且△ABE為等腰三角形即可．

解答：（1）證明：如圖：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又AF、BG是∠BAD與∠ABC的角平分線，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴AF⊥BG．
∵AD∥BC，∴∠AMB=∠CBG，
又BG是∠ABC的角平分線，
∴∠ABG=∠CBG，
∴AB=AM，
又AB∥DC，
∴∠ABM=∠G，又∠AMB=∠GMD，
∴∠G=∠GMD，
∴DM=DG，即△GDM為等腰三角形，
同理可得△NCF為等腰三角形；
∵DF-CD=CG-CD，即DF=CG

（2）解：①由已知可得，AF、BG仍是∠BAD與∠ABC的角平分線，且CF=GD，
∴FD=AD=6，
∴CF=10-6=4=GD，
∴FG=FD-GD=6-4=2．
可得，Rt△EFG∽Rt△EAB，
∴

EG

BE

=

FG

AB

=

2

10

，
∵BG=4，
∴GE=

2

3

，BE=

10

3

，
則在直角三角形EFG中，根據勾股定理得：EF=

FG2-EG2

=

4 2

3

，
在直角三角形ABE中，根據勾股定理得：AE=

AB2-BE2

=

20 2

3

，
勾股定理可得AF=EF+AE=8

2

；

②AB=2AD，∠A=90°．
若使點E恰好落在CD邊上且△ABE為等腰三角形，
∵AF、BG是∠BAD與∠ABC的角平分線，
∴只能使其角為直角，即∠A=90°，
而由（1）、（2）可得，邊長則需滿足1：2的關系，即AB=2AD．

點評：本題主要考查平行四邊形的性質，等腰三角形及勾股定理和相似三角形的運用，應熟練掌握．