Question

已知直線y＝kx＋6（k<0）分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒2個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設運動時間為t秒．

　�。�1）當k＝－1時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發，當點P到達點A時兩點同時停止運動（如圖1）．

　�、僦苯訉懗鰐＝1秒時C、Q兩點的坐標；

　�、谌粢訯、C、A為頂點的三角形與△AOB相似，求t的值．

　　（2）當時，設以C為頂點的拋物線y＝(x＋m)²＋n與直線AB的另一交點為D（如圖2），①求CD的長； ②設△COD的OC邊上的高為h，當t為何值時，h的值最大？

Answer 1

解：（1）①C（2，4），Q（4，0）

　　②由題意得：P（2t，0），C（2t，－2t＋6），Q（6－2t，0）

　　分兩種情況討論：

　　情形一：當△AQC∽△AOB時，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA．

　　∵CP⊥OA，∴點P與點Q重合，OQ＝OP，即6－2t＝2t，∴t＝1.5

　　情形二：當△AQC∽△AOB時，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝3，

∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ也是等腰直角三角形，∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，即2t＝2（－2t＋6），

∴t＝2，∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒．

　�。�2）①由題意得：C（2t，），

　　∴以C為頂點的拋物線解析式是，

　　由

　　解得

　　過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC＝∠AOB＝90°．

　　∵DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，

　　∴△DEC∽△AOB，∴，∵AO＝8，AB＝10，

　　DE＝，∴CD＝．

　�、凇�，CD邊上的高＝，

　　∴S_△COD為定值．要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短，當OC⊥AB時OC最短，此時OC的長為，∠BCO＝90°，

　　∵∠AOB＝90°∴∠COP＝90°﹣∠BOC＝∠OBA，

　　又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB．

　　

　　∴當t為秒時，h的值最大．