Question

如圖，在DABC中，AB=AC=6，ÐB=30°，點O₁、O₂在BC上，⊙O₁與⊙O₂外切于P，⊙O₁與AB相切于點D，與AC相離，⊙O₂與AC相切于E，與AB相離。

（1）求證：DP∥AC；

（2）設(shè)⊙O₁的半徑為x，⊙O₂的半徑為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（3）DADP能否為上角三角形？如果能夠，請求出⊙O₂的半徑；如果不能，請說明理由。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：連結(jié)O1D，∵ ⊙O1與AB相切于點D，∴ ÐBDO1=90°。∵ ÐB=30°，∴ ÐBO1D=60°。∵ O1D=O1P，∴ ÐDPO1=ÐPDO1。∵ ÐDO1P=ÐDPO1+ÐPDO1=2ÐDPO1，∴ ÐDPO1=30°。∵ AB=AC，∴ ÐC=ÐB=30°。∴ ÐDPO1=ÐC。∴ DP∥AC。 （2）解：連結(jié)O2E2，作AH^BC，垂足為H。 ∵ ⊙O2與AC相切于E，∴ ÐCEO2=90°。∵ÐC=30°，PO2=EO2=y，∴ CO2=2EO2=2y。同理：PO1=x，BO1=2x。在RtDABH中，BH=AB×cosB=6×cos60°=，∴ 。，∴ 函數(shù)解析式為。定義域。 （3）解：DADP能為直角三角形。當(dāng)ÐDPA=90°時，∵ DP∥AC，∴ ÐPAC=90°，在RtDAPC中，。∴ ，∴ 。即⊙O2的半徑為。當(dāng)ÐDPC=90°時，在RtDABP中，同理可求得。 ∴ y。即⊙O2的半徑為。由于ÐADO1< span lang=EN-US style='font-family:Symbol;mso-bidi-font-family:Symbol'>=90°，所以ÐADP不可能為90°，綜上所述⊙O2的半徑為或。