Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為C（1，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上師范存在一點H，使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最�。咳舸嬖冢�求出這個最小值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數即可求得函數的解析式；
（2）在y軸的負半軸上取一點I，使得點F與點I關于x軸對稱，在x軸上取一點H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF=HI，
只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI，只有當EI為一條直線時，EG+GH+HI最小，求得直線EI的解析式，即可求解．
解答：解：（1）設所求拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，將點B（3，0）代入，得：a（3-1）²+4=0解得：a=-1∴解析式為：y=-（x-1）²+4
（2）如圖，在y軸的負半軸上取一點I，使得點F與點I關于x軸對稱，
在x軸上取一點H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF=HI，點E坐標為（2，3）
∴點A（-1，0），點B（3，0），點D（0，3）
又∵拋物線的對稱軸為：直線x=1．
∴點D與點E關于PQ對稱，GD=GE  過A、E兩點的一次函數解析式為：y=x+1
∴當x=0時，y=1
∴點F坐標為（0，1）
∴DF=2
又∵點F與點I關于x軸對稱，∴點I坐標為（0，-1）
∴EI===2，
又∵要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，
∴只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有當EI為一條直線時，EG+GH+HI最小，過E（2，3）、I（0，-1）
解析式為：y=2x-1
∴當x=1時，y=1；當y=0時，x=；
∴點G坐標為（1，1），點H坐標為（，0）
∴四邊形DFHG的周長最小為：DF+DG+GH+HF=DF+EI=2+2．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．