Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點G在邊BC上（不與點B，C重合），連接AG，作DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F，設＝k．

（1）求證：AE＝BF；

（2）求證：＝k；

（3）連接DF，當∠EDF＝30°時，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）k＝．

【解析】

（1）根據題意可證明△ABF≌△DAE，從而證明AE＝BF；

（2）根據題意可證明△ABG∽△DEA，從而可得，再由（1）的結論可得=k；

（3）由（1）和（2）的結論可設DE＝a，可得到EF＝a﹣ka，在Rt△DEF中，根據特殊角的三角函數值求k即可.

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∴∠BAF+∠DAE＝90°，

∵DE⊥AG，

∴∠ADE+∠DAE＝90°，

∴∠BAF＝∠ADE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）

∴AE＝BF；

（2）證明：∵∠BAF＝∠ADE，∠ABG＝∠DEA，

∴△ABG∽△DEA，

∴，又AE＝BF，

∴＝k；

（3）解：設DE＝a，

則AF＝a，BF＝AE＝ka，

∴EF＝a﹣ka，

在Rt△DEF中，tan∠EDF＝，即，

解得，k＝．