Question

如圖，有一直徑MN=4的半圓形紙片，其圓心為點P，從初始位置Ⅰ開始，在無滑動的情況下沿數軸向右翻滾至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于數軸，且半⊙P與數軸相切于原點O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于數軸，位置Ⅲ中的MN在數軸上；位置Ⅴ中的點N到數軸的距離為3，且半⊙P與數軸相切于點A．
解答下列問題：
（1）紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時，該紙片所掃過圖形的面積；
（2）求位置Ⅲ中的圓心P在數軸上表示的數；
（3）求點A在數軸上表示的數．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據扇形面積公式分別求出面積即可；
（2）根據位置Ⅰ中的長與數軸上線段ON相等求出的長，再根據弧長公式求出的長，進而可得出結論；
（3）作NC垂直數軸于點C，作PH⊥NC于點H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形，在Rt△NPH中，根據sin∠NPH==即可∠NPH、∠MPA的度數，進而可得出的長，即可得出答案．
解答：解：（1）∵S_半圓==2π，S_扇形==4π，
∴半⊙P所掃過圖形的面積為：2π+4π=6π．

（2）∵位置Ⅰ中的長與數軸上線段ON相等，
的長為=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圓心P在數軸上表示的數為：π+2．

（3）如圖，作NC垂直數軸于點C，作PH⊥NC于點H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH==，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
從而的長為=，于是OA的長為：π+4+π=π+4．
∴點A在數軸上表示的數為：π+4．
點評：本題考查了直線與圓的關系、弧長的計算、扇形的面積公式，在解答此題時要注意Ⅰ中 的長與數軸上線段ON相等的數量關系．