Question

如（a）圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（12，0），點B坐標為（6，8），點C為OB的中點，點D從點O出發，沿△OAB的三邊按逆時針方向以2個單位長度/秒的速度運動一周．
（1）點C坐標是

 

，當點D運動8.5秒時所在位置的坐標是

 

；
（2）設點D運動的時間為t秒，試用含t的代數式表示△OCD的面積S，并指出t為何值時，S最大；
（3）點E在線段AB上以同樣速度由點A向點B運動，如（b）圖，若點E與點D同時出發，問在運動5秒鐘內，以點D，A，E為頂點的三角形何時與△OCD相似？（只考慮以點A、O為對應頂點的情況）

Answer 1

分析：（1）點C的坐標易求得；當點D運動8.5s時，D點運動的總路程為8.5×2=17，那么此時點D運動到線段AB上，且AD=5；根據AB的坐標易知AB=10，那么此時點D是AB的中點，即可求得點D的坐標；
（2）①當D在線段OA上，即0＜t≤6時，以OD為底，C點縱坐標的絕對值為高即可得到△OCD的面積，也就求得了此時y、x的函數關系式；
②當D在線段AB上，即6≤t＜11時，由于△BCD和△OCD等底同高，所以△OCD的面積是△OBD的一半，只需求出△OBD的面積即可；△OBD和△OAB等底，那么面積比等于高的比，分別過D、A作OB的垂線，設垂足為M、N；易證得△BDM∽△BAN，那么兩條高的比即為BD、BA的比，易求得△ABO的面積由此得解；
③當D在線段OB上時，O、A、D三點共線，構不成三角形，故此種情況不成立；
（3）由D、E的運動速度及OA、AB的長可知：D、E在運動過程中總在OA、AB上；可分兩種情況：
①∠ODC=∠ADE，此時△ODC∽△ADE；②∠ODC=∠AED，此時△ODC∽△AED；
根據上述兩種情況所得到的比例線段即可求得t的值．

解答：解：（1）C（3，4），D（9，4）；

（2）易知：OB=AB=10；
∵C點坐標為（3，4），
∴點C到x軸的距離為4
①當點D在線段OA上，即0＜t≤6時，OD=2t；
則：S=

1

2

OD×4=

1

2

×2t×4=4t；
②當D在線段AB上，即6≤t＜11時，BD=OA+AB-2t=22-2t；
過D作DM⊥OB于M，過點A作AN⊥OB于N；
則△BMD∽△BNA，得：

DM

AN

=

BD

BA

=

22-2t

10

=

11-t

5

；
易知S_△OAB=48；
∵S_△ODB：S_△OAB=DM：AN=（11-t）：5，
∴S_△OBD=S_△OAB•

11-t

5

=

48

5

（11-t）；
∵BC=OC，
∴S=S_△BCD，即S=

1

2

S_△OBD=

24

5

（11-t）=-

24

5

t+

264

5

；
③當D在線段OB上時，O、C、D三點共線，不能構成三角形，此種情況不成立；
綜上可知：當t=6時，S最大，且S_max=24；

（3）當0≤t≤5s時，D在線段OA上運動，E在線段AB上運動；
△OCD中，OC=5，OD=2t；△DAE中，AD=12-2t，AE=2t；
①當△OCD∽△ADE時，

OC

AD

=

OD

AE

=1，∴OC=AD，即12-2t=5，t=

7

2

；
②當△OCD∽△AED時，

OC

AE

=

OD

AD

，即

5

2t

=

2t

12-2t

，解得t=

265 -5

4

；
綜上所述，當t=

7

2

或

265 -5

4

時，兩個三角形相似．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質、三角形面積的求法、一次函數的應用等知識，需注意的是（2）（3）都要根據不同情況分類討論，以免漏解．