Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（0，4）、E（0，－2）兩點，與y軸交于點B（2，0），連結AB。過點A作直線AK⊥AB，動點P從點A出發以每秒個單位長度的速度沿射線AK運動，設運動時間為t秒，過點P作PC⊥x軸，垂足為C，把△ACP沿AP對折，使點C落在點D處。

(1)、求拋物線的解析式；

(2)、當點D在△ABP的內部時，△ABP與△ADP不重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍；

(3)、是否存在這樣的時刻，使動點D到點O的距離最小，若存在請求出這個最小距離，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=－；(2)、S=－+5t(0＜t＜4)；(3)、.

【解析】

試題分析：(1)、利用待定系數法求出函數解析式；(2)、根據AP=t和ΔAOB∽ΔPCA 可求得AC=t，PC=2t，然后根據面積法求出S和t的函數關系式；(3)、連結CD，交AP于點G，過點作D H⊥x軸，垂足為H，得出△ACG和△DCH和△BAO相似，然后求出DC、DH、HC和OH的長度，從而得到點D的坐標和值AD的解析式，得到點E的坐標，得出AE的長度，此時點Rt△EAO斜邊上的高即為OD的最小距離，利用面積法求出最小值.

試題解析：(1)、拋物線的解析式為y=－

(2)、由AP=t和ΔAOB∽ΔPCA 可求得AC=t， PC=2t

S=SΔABP-SΔADP=×2×t-×2t×t=-+5t ，t的取值范圍是0＜t＜4

(3)、連結CD，交AP于點G，過點作D H⊥x軸，垂足為H

易證△ACG∽△DCH∽△BAO且OB：OA：AB＝1：2：

因為∠DAP＝∠CAP，點D始終在過點A的一條定直線上運動，設這條定直線與y軸交于點E

當AC＝t＝1時，DC＝2CG＝2×＝

∴DH＝，HC＝ ∴OH＝5－＝

∴點D的坐標為（，） 可求出直線AD的解析式為y=-x+，點E的坐標為（0，）

可求得AE＝ 此時點Rt△EAO斜邊上的高即為OD的最小距離，為×÷＝