Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是等腰三角形，BO=BA=10，OA=16．D為OB的中點，點P從O點出發以每秒3個單位的速度運動，點Q從A點出發運動．P、Q兩點同時出發，運動時間為t秒．
（1）直接寫出B點坐標；
（2）求出△OAB的面積；
（3）當點P沿O→A→B→O→A→…的路線在三角形的邊上按逆時針方向運動，點Q沿A→B→O→A→B…的路線在三角形的邊上按逆時針方向運動．如果點Q的運動速度為每秒4個單位，P、Q兩點第一次相遇時，在三角形的哪條邊上？
（4）當P點從O點向A點運動，Q點從A點出發向B點運動，如果△ODP與△APQ全等，求點Q的運動速度．

Answer 1

分析：（1）過B作BC⊥OA于C，求出OC、BC即可；
（2）根據三角形的面積公式求出即可；
（3）由題意得出4t=3t+20，求出t，求出此時P點運動的路程，即可得出答案；
（4）設Q點的運動速度為每秒m個單位，則OD=5，OP=3t，PA=16-3t，AQ=mt，
當△DOP≌△QAP時得出

mt=5 3t=16-3t

，當△DOP≌△PAQ時得出

5=16-3t 3t=mt

，求出m即可．

解答：解：（1）
過B作BC⊥OA于C，
∵OB=BA=10，OA=16，
∴OC=CA=8，
由勾股定理得：BC=

102-82

=6，
∴B的坐標是（8，6）；

（2）△OAB的面積是

1

2

×OA×BC=

1

2

×16×6=48；

（3）由題意得：4t=3t+20，
解得：t=20，
此時P點運動的路程是60，
∵△OAB的周長是16+10+10=36，
又∵60-36-16=8，
∴第一次相遇在邊AB上；

（4）設Q點的運動速度為每秒m個單位，則OD=5，OP=3t，PA=16-3t，AQ=mt，
當△DOP≌△QAP時，

OD=AQ OP=AP

，即

mt=5 3t=16-3t

，
解得：t=

8

3

．m=

15

8

；
當△DOP≌△PAQ時，

OD=AP OP=AQ

，即

5=16-3t 3t=mt

，
解得：t=

11

3

，m=3，
綜合上述：點Q的運動速度是每秒

15

8

個單位或每秒3個單位．

點評：本題考查了等腰三角形性質，三角形的面積，全等三角形的性質和判定等知識點的應用．