Question

如圖，矩形ABCD中，BC=2AB，對角線相交于O，過C點作CE⊥BD交BD于E點，H為BC中點，連接AH交BD于G點，交EC的延長線于F點，下列5個結論：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S_△GAD=S_{四邊形GHCE}；⑤CF=BD．正確的有（ ）個．

A．2
B．3
C．4
D．5

Answer 1

【答案】分析：根據BC=2AB，H為BC中點，可得△ABH為等腰直角三角形，HE=BH=HC，可得△CEH為等腰三角形，又∠BCD=90°，CE⊥BD，利用互余關系得出角的相等關系，根據基本圖形判斷全等三角形，特殊三角形進行判斷．
解答：解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，H為BC中點，∴BC=2EH，又BC=2AB，∴EH=AB，正確；
②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，∴∠ABG=∠HEC，正確；
③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，∴△ABG≌△HEC，錯誤；
④作AM⊥BD，則AM=CE，△AMD≌△CEB，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△HGB，
∴=2，
即△ABG的面積等于△BGH的面積的2倍，
根據已知不能推出△AMG的面積等于△ABG的面積的一半，
即S_△GAD≠S_{四邊形GHCE}，∴④錯誤
⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，∴∠F=∠HAC，∴CF=BD，正確．
正確的有三個．
故選B．
點評：此題主要考查了等腰三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定．解答該題的關鍵是證明等腰三角形，全等三角形．本題綜合性較強，難度比較大．