Question

如圖1，將正方形紙片折疊，使點落在邊上一點（不與點，重合），壓平后得到折痕．

【小題1】當時，求的值．（方法指導：為了求得的值，可先求、的長，不妨設=2）
【小題2】在圖1中，若則的值等于        ；若則的值等于        ；若（為整數），則的值等于        ．（用含的式子表示）
【小題3】如圖2，將矩形紙片折疊，使點落在邊上一點（不與點重合），壓平后得到折痕設則的值等于        ．（用含的式子表示）

Answer 1

【小題1】如圖（1-1），連接BM，EM，BE．

由題設，得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱．
∴MN垂直平分BE．∴ BM=EM，BN=ＥＭ
∵四邊形ABCD是正方形，
∴
∵                                             2分
設BN=x，則NE=x,NC=2-x
在Rt△CNE中，．
∴解得，即                               1分
在Rt△ABM和在Rt△DEN中，
，

∴
設AM=y,則DM=2-y
∴
解得即                                                 1分
∴                                                           1分
【小題2】；；
【小題3】解析:
連接BM，EM，BE．由題設，得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱．由軸對稱的性質知MN垂直平分BE．有BM=EM，BN=EN．由于四邊形ABCD是正方形，則有∠A=∠D=∠C=90°，設AB=BC=CD=DA=2．由得，CE=DE=1；設BN=x，則NE=x，NC=2-x．在Rt△CNE中，由勾股定理知NE²=CN²+CE²．即x²=（2-x）²+1²可解得x的值，從而得以BN的值，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，由勾股定理知AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，有AM²+AB²=DM²+DE²．