Question

如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x軸．它的頂點A的坐標為（10，0），頂點B的坐標為，點P從點A出發，沿A→B→C的方向勻速運動，同時點Q從點D（0，2）出發，沿y軸正方向以相同速度運動，當點P到達點C時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．
（1）求∠BAO的度數．（直接寫出結果）
（2）當點P在AB上運動時，△OPQ的面積S與時間t（秒）之間的函數圖象為拋物線的一部分（如圖②），求點P的運動速度．
（3）求題（2）中面積S與時間之間的函數關系式，及面積S取最大值時點P的坐標．
（4）如果點P，Q保持題（2）中的速度不變，當t取何值時，PO=PQ，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度數即可；
（2）利用圖②中的函數圖象，求得點P的運動時間與路程解決即可；
（3）利用特殊角的三角函數，三角形的面積以及配方法解決問題；
（4）分兩種情況進行列方程解決問題．
解答：解：（1）如圖，

過點B作BE⊥OA于E，則OE=5，BE=5，OA=10，
∴AE=5，Rt△ABE中，tan∠BAO==，
∴∠BAO=60°；

 （2）由圖形可知，當點P運動了5秒時，它到達點B，此時AB=10，因此點P的運動速度為10÷5=2個單位/秒，
點P的運動速度為2個單位/秒；

（3）P（10-t，t）（0≤t≤5），
∵S=（2t+2）（10-t），
=-（t-）²+，
∴當時，S有最大值為，
此時；

（4）當P在AB上時，根據P點縱坐標得出：
，
解得：，
當P在BC上時，，
此方程無解，故t不存在，
綜上所知當t=時，PO=PQ．
點評：此題主要考查二次函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，特殊角的三角函數，以及分類討論思想的滲透．