Question

如圖，正方形ABCD和正方形AEFG有一個公共點A，點G、E分別在線段AD、AB上．
（1）連接DF、BF，若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，判斷命題“在旋轉的過程中，線段DF與BF的長始終相等”是否正確？若正確，請證明；若不正確，請舉例說明；
（2）若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，連接DG，在旋轉過程中，你能否找到一條線段的長與線段DG的長始終相等？并以圖為例說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）顯然，當A，F，B在同一直線上時，DF≠BF．
（2）注意使用兩個正方形的邊和90°的角，可判斷出△DAG≌△BAE，那么DG=BE．
解答：解：（1）不正確．
若在正方形GAEF繞點A順時針旋轉45°，這時點F落在線段AB或AB的延長線上．（或將正方形GAEF繞點A順時針旋轉，使得點F落在線段AB或AB的延長線上）．如圖：
設AD=a，AG=b，
則DF=＞a，
BF=|AB-AF|=|a-b|＜a，
∴DF＞BF，即此時DF≠BF；

（2）連接BE，可得△ADG≌△ABE，
則DG=BE．如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵四邊形GAEF是正方形，
∴AG=AE，
又∠DAG+∠GAB=90°，∠BAE+∠GAB=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
∴△DAG≌△BAE，
∴DG=BE．
點評：注意點在特殊位置時所得到的關系，判斷邊相等，通常要找全等三角形．