Question

如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，
（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；
（2）何時△PBQ是直角三角形？
（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，所以AP=BQ．AB=AC，∠B=∠CAP=60°，因而運用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性質定理及三角形的角間關系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數．
（2）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t．分別就①當∠PQB=90°時；②當∠BPQ=90°時利用直角三角形的性質定理求得t的值．
（3）首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性質定理得到∠BPC=∠MQC．再運用三角形角間的關系求得∠CMQ的度數．
解答：解：（1）∠CMQ=60°不變．
∵等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由條件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

（2）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t
①當∠PQB=90°時，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=；
②當∠BPQ=90°時，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=；
∴當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．

（3）∠CMQ=120°不變．
∵在等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由條件得BP=CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°
點評：此題是一個綜合性很強的題目．本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質．難度很大，有利于培養同學們鉆研和探索問題的精神．