Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，點p_n（x_n，y_n）在雙曲線上（n，x_n，y_n都是正整數，且x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n）．拋物線y=ax²+bx+c經過（0，3），（-2，3），（1，0）三點．

x	…						…
y	…						…

（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式并在坐標系中畫出它的圖象；
（2）直接寫出點p_n（x_n，y_n）的坐標，并寫出p_n中任意兩點所確定的不同直線的條數；
（3）從（2）中得到的所有直線中隨機（任意）取出一條，利用圖象求取出的直線與拋物線有公共點的概率；
（4）設拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點分別為A，B（A在B左側），將拋物線y=ax²+bx+c向上平移，平移后的拋物線與x軸的交點分別記為C，D（C在D左側），求值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過（0，3），（-2，3），（1，0）三點，
∴，解得：
∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3

x	…	-3	-2	-1	0	1	…
y=-x2-2x+3	…	0	3	4	3	0	…

圖象為：

（2）P點的坐標為：P₁（1，6），P₂（2，3），P₃（3，2），P₄（6，1），
p_n中任意兩點所確定的不同直線的條數共有：6條．

（3）由圖得，p_n中任意兩點所確定的不同直線有：P₁P₂，P₁P₃，P₁P₄，P₂P₃，P₂P₄，P₃P₄6條，其中與拋物線有公共點的直線只有一條，P₃P₄，
∴從（2）中得到的所有直線中隨機（任意）取出一條，取出的直線與拋物線有公共點的概率為：

（4）∵點C、點D是拋物線向上平移后與x軸的交點，
∴拋物線的對稱軸不變，設拋物線的對稱軸與拋物線的交點是點E，
∴CE=DE，AE=BE，
∴EC-AE=DE-BE，
∴AC=BD，
∴AB+AC=AB+BD，
∴BC=AD，
∵△P₁CBD的高=△P₁AD的高=h，
∴S_△P1CB=，S_△P1AD=
∴S_△P1CB=S_△P1AD
∴=1
分析：（1）利用待定系數法根據已知條件就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）由條件可以知道xn，yn都是6的正約數，x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n．就可以求出x的值，從而求出Pn的坐標．
（3）先在畫好拋物線的圖象的坐標系中描出所有p_n（x_n，y_n）地坐標，再過點畫直線，確定與 拋物線有交點的線段條數占總條數的比就是直線與拋物線有公共點的概率．
（4）根據拋物線的對稱性可以求出拋物線向上平移后CB=AD，就可以得到這兩個三角形的底相等，高相等，故可以求出面積之比．
點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了反比例函數k的幾何意義，待定系數法求二次函數的解析式，概率的運用，圖象的平移．