Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，延長AB到點D，使CD=CA，且．

（1）求證：是⊙O的切線．

（2）分別過A、B兩點作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點，過C點作AB的垂線，垂足為點G．求證：．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析．

【解析】

(1)連接OC，∠CAD=∠D=30°，由OC=OA，進而得到∠OCA=∠CAD=30°，由三角形外角定理得到∠COD=∠A+∠OCA=60°，在△OCD中由內角和定理可知∠OCD=90°即可證明；

(2)證明AC是∠EAG的角平分線，CB是∠FCG的角平分線，得到CE=CG，CF=CG，再證明△AEC∽△CFB，對應線段成比例即可求解．

解：(1)連接OC，如下圖所示：

∵CA=CD，且∠D=30°，

∴ ∠CAD=∠D=30°，

∵ OA=OC，

∴ ∠CAD=∠ACO=30°，

∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°，

∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°，

∴ OC⊥CD，

∴ CD是⊙O的切線．

(2)連接BC，如下圖所示：

∵∠COB=60°，且OC=OB，

∴△OCB為等邊三角形，∠CBG=60°，

又CG⊥AD，∴∠CGB=90°，

∴∠GCB=∠CGB-∠CBG=30°，

又∠GCD=60°，

∴CB是∠GCD的角平分線，且BF⊥CD，BG⊥CG，

∴BF=BG，

又BC=BC，

∴△BCG≌△BCF，

∴CF=CG.

∵∠D=30°，AE⊥ED，∠E=90°，

∴∠EAD=60°，

又∠CAD=30°，

∴AC是∠EAG的角平分線，且CE⊥AE，CG⊥AB

∴CE=CG，

∵∠E=∠BFC=90°，∠EAC=30°=∠BCF，

∴△AEC∽△CFB，

∴，即，

又，

∴．