Question

15、當n取正整數的時候，比較2ⁿ與n²的大小情況，結論應該是

n=2或4時，2ⁿ=n²；n=3時，2ⁿ＜n²；n=1及n取大于4的正整數時，都有2ⁿ＞n²

．

Answer 1

分析：此題應從特例入手，當n=1，2，3，4，5，6，…時探求2ⁿ與n²的大小關系，也可以從y=2^x與y=x²的圖象（x＞0）的變化趨勢猜測2ⁿ與n²的大小關系．

解答：解：當n=1時，2¹＞1²，即2ⁿ＞n²；
當n=2時，2²=2²，即2ⁿ=n²；
當n=3時，2³＜3²，即2ⁿ＜n²；
當n=4時，2⁴=4²，即2ⁿ=n²；
當n=5時，2⁵＞5²，即2ⁿ＞n²；
當n=6時，2⁶＞6²；
…
猜測當n≥5時，2ⁿ＞n²；
下面我們用數學歸納法證明猜測成立，
（1）當n=5時，由以上可知猜測成立，
（2）設n=k（k≥5）時，命題成立，即2^k＞k²，
當n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2k²=k²+k²＞k²+（2k+1）=（k+1）²，即n=k+1時，命題成立，
由（1）和（2）可得n≥5時，2ⁿ與n²的大小關系為：2ⁿ＞n²；
故答案為：n=2或4時，2ⁿ=n²；n=3時，2ⁿ＜n²；n=1及n取大于4的正整數時，都有2ⁿ＞n²．

點評：此題考查的知識點是整數問題的綜合應用，解答此題的關鍵是從特例入手，猜測探究然后用數學歸納法證明猜測成立．