Question

如圖AD∥BC，點E在CD上，已知AD+BC=AB，E為CD的中點．
求證：
（1）AE⊥BE．
（2）BE平分∠ABC．

Answer 1

分析：（1）延長AE到F使EF=AE，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠D=∠ECF，然后利用“角邊角”證明△ADE和△FCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=CF，然后證明AB=BF，再根據等腰三角形三線合一的性質即可得證；
（2）根據等腰三角形三線合一的證明即可．

解答：證明：（1）如圖，延長AE到F使EF=AE，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
∵E為CD的中點，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，

∠D=∠ECF DE=CE ∠AED=∠FEC(對頂角相等)

，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD=CF，
∵AD+BC=AB，
∴BF=CF+BC=AB，
∴AE⊥BE；

（2）BE平分∠ABC（等腰三角形三線合一）．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，兩直線平行，內錯角相等的性質，等腰三角形三線合一的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．