Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD、AE分別是∠BAC及其外角∠CAF的平分線，CE⊥AE
（1）求證：AB=DE；
（2）若S_△ABC=48，AD=8，P為線段CE上的動點，設x為點P到直線AC的距離，y為點P到直線AB的距離，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對矩形判定的考查，由AB=AC，AD是∠BAC的平分線，可得AD⊥BC，CE⊥AE于點，可得出四邊形ADCE為矩形，從而得到AC=DE，進而得到答案；
（2）首先根據已知條件得出BC，再根據等腰三角形的性質得到DC，再利用勾股定理求出AC的長，利用三角形面積相等，當P與E點重合，當P與C點重合，求出y與x的函數關系式即可．
解答：（1）證明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，
∵AD是∠BAC的平分線，AE是∠CAF的外角平分線，
∴∠DAC+∠CAE=90°即∠DAE=90°，
又CE⊥AE，
∴四邊形ADCE為矩形；
∴AC=DE，
∵AB=AC，
∴AB=DE，

（2）解：∵S_△ABC=48，AD=8，
∴BC=12，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴DC=6，
∴AC=10，
∵x為點P到直線AC的距離，y為點P到直線AB的距離，
∴當P與C點重合，
∴PM•AB=AD•BC，
∴10PM=8×12，
∴PM=9.6，
∴x=0，y=9.6，
∴x+y=9.6，
∴y=9.6-x（0≤x≤4.8）．
當P與E點重合，
過點P作PS⊥BA，PN⊥AC，
∵PN•AC=AP•PC，
∴10PN=8×6，
∴PN=4.8，
∵AE是外角∠CAF的平分線，
∴PS=PN，
∴x=4.8，y=4.8，
∴x+y=9.6，
∴y=9.6-x（0≤x≤4.8）．
綜上所述，可以得出P點在線段CE上移動時，
y與x的函數關系式為：y=9.6-x，自變量x的取值范圍為：0≤x≤4.8．
點評：此題主要考查了矩形的性質與判定，勾股定理的應用，解決問題的關鍵是：①證明四邊形ADCE為矩形，②求出AC的長．