Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A（,0）、B兩點，與y軸交于C點，其對稱軸為直線x=1.

（1）直接寫出拋物線的解析式 ：

（2）把線段AC沿x軸向右平移，設平移后A、C的對應點分別為A′、C′，當C′落在拋物線上時，求A′、C′的坐標；

（3）除（2）中的點A′、C′外，在x軸和拋物線上是否還分別存在點E、F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出E、F的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（0，0），（2，4）；（3）存在點E、F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，點E、F的坐標為：或.

【解析】

試題（1）先求得B點的坐標，然后根據待定系數法交點拋物線的解析式：

∵A（，0），對稱軸為直線x=1，∴B（4，0）.

把A（，0），B（4，0）代入拋物線的表達式得：

，解得：.

∴拋物線的解析式為：.

（2）根據平移性質及拋物線的對稱性，求出A′、C′的坐標.

（3）分AC為平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論即可．

試題解析：解：（1）.

（2）∵拋物線的解析式：，

∴當x=0時，y=4. ∴點C（0，4）.

∵拋物線的對稱軸為x=1，∴點C關于x=1的對稱點C′的坐標為（2，4）.

∴點C向右平移了2個單位長度.

∴則點A向右平移后的點A′的坐標為（0，0）.

∴點A′，C′的坐標分別分（0，0），（2，4）.

（3）存在．

設F（x，）．

若以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，則：

①AC為平行四邊形的邊，如答圖1，

ⅰ）若CFEA為平行四邊形，

則CF1∥AE1且CF1=AE1，

此時，E1，F1分別與點A′、C′重合，與題意不符，舍去.

ⅱ）若CEFA為平行四邊形，則AC∥FE且AC=FE，

過點F2作F2D⊥x軸于點D，則易證Rt△AOC≌Rt△E2DF2，

∴DE=2，DF2=4．

∴，解得：．

∴.

∴．

②若AC為平行四邊形的對角線，如答圖2．

則CF4∥E4A且CF4=E4A，

∴F4（2，4），E4（，0）.

此時， F4與點C′重合，與題意不符，舍去.

綜上所述，存在點E、F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，點E、F的坐標為：或.