Question

閱讀下列材料，并解決后面的問題，在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，則
（1）過點A作AD⊥BC于D（如圖1），
則在Rt△ABD中，AD=______；（限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素來表示）
在Rt△ACD中，AD=______；
∴______=______
∴______=______
同理最后可得，______=______=______；
（2）用尺規畫△ABC的外接圓⊙O，半徑為r（圖2），請你另用不同的方法證明以上結論；并寫出上述結論與△ABC外接圓直徑的關系．
（3）應用：△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，b=，則a=______，外接圓半徑r=______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正弦的定義寫出，然后再等量代換進行整理；
（2）過點C作直徑交⊙O于點D，連接BD，根據同弧所對的圓周角相等可得∠D=∠A，直徑所對的圓周角是直角可得∠DBC=90°，在Rt△BDC中表示出sinD，也就是sinA，然后代入整理即可，同理可證其它兩個也成立；
（3）代入上述結論計算即可．
解答：（1）解：AD=c•sinB，
AD=b•sinC，
c•sinB=b•sinC，
，
同理可得：==；

（2）證明：如圖，點C作直徑CD交⊙O于點D，連接BD，
∴∠A=∠D（同弧所對的圓周角相等），
∠DBC=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴sinA=sinD，sinD=，
∴==2r，
同理可證：=2r，=2r，
∴===2r；

（3）解：∵=，∠A=30°，∠B=45°，b=，
∴=，
解得a=×=1，
∵=2r，
∴=2r，
解得r=1，
故答案為：a=1，r=1．
點評：本題考查了解直角三角形，主要利用了正弦的定義，（2）的證明作出輔助性，構造出以直徑為斜邊的直角三角形是解題的關鍵，也是難點，希望同學們要多動腦筋，從題目的條件與結論入手考慮問題．