Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC＜AB＜2BC．在AB邊上取一點M，使AM=BC，過點A作AE⊥AB且AE=BM，連接EC，再過點A作AN∥EC，交直線CM、CB于點F、N．
（1）證明：∠AFM=45°；
（2）若將題中的條件“BC＜AB＜2BC”改為“AB＞2BC”，其他條件不變，請你在圖2的位置上畫出圖形，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請猜想∠AFM的度數，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EM，根據AE⊥AB，AE=MB，AM=CB，可求出△AEM≌△BMC；根據直角三角形的性質可知△EMC是等腰直角三角形；再結合平行線的性質可知∠AFM=45度．
（2）根據題意畫出圖形，再用（1）中方法證明∠AFM=45°不成立．
解答：證明：（1）連接EM．
∵AE⊥AB，∴∠EAM=∠B=90°．
∵AE=MB，AM=CB，
∴△AEM≌△BMC．
∴∠AEM=∠BMC，EM=MC．
∵∠AEM+∠AME=90°，
∴∠BMC+∠AME=90．
∴∠EMC=90°．
∴△EMC是等腰直角三角形．
∴∠MCE=45°
∵AN∥CE，
∴∠AFM=∠MCE=45°．（7分）

解：（2）畫出圖②（9分）
不成立．∠AFM=135°．（10分）
連接ME．
前半部分證明方法與（1）同．
∴∠MCE=45°．
∵AN∥CE，∴∠AFM+∠MCE=180°．
∴∠AFM=135°．（12分）
點評：本題比較復雜，解答此題的關鍵是先畫出圖形作出輔助線，然后結合全等三角形、等腰三角形及平行線的性質解答，有一定難度．