Question

（2011•三門峽二模）矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4，將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上的B′處，折痕為AE．在折痕AE上存在一點(diǎn)P到邊CD的距離與到點(diǎn)B的距離相等，則此相等距離為（ ）

A．1.5
B．2.5
C．3
D．2

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由翻折變換的性質(zhì)得出F、B′重合，分別延長AE，DC相交于點(diǎn)G，由平行線的性質(zhì)可得出GB′=AB′=AB=5，再根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ADG∽△PB′G，求出其相似比，進(jìn)而可求出答案．
解答：解：如圖所示，設(shè)PF⊥CD，
∵BP=FP，
由翻折變換的性質(zhì)可得BP=B′P，
∴FP=B′P，
∴FP⊥CD，
∴B′，F(xiàn)，P三點(diǎn)構(gòu)不成三角形，
∴F，B′重合分別延長AE，DC相交于點(diǎn)G，
∵AB平行于CD，
∴∠BAG=∠AGC，
∵∠BAG=∠B′AG，AGC=∠B′AG，
∴GB′=AB′=AB=5，
∵PB′（PF）⊥CD，
∴PB′∥AD，
∴△ADG∽△PB′G，
∵Rt△ADB′中，AB′=5，AD=4，
∴DB′=3，DG=DB′+B′G=3+5=8，
∴△ADG與△PB′G的相似比為8：5，
∴AD：PB′=8：5，
∵AD=4，
∴PB′=2.5，即相等距離為2.5．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．