Question

已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（x₁，0），B（x₂，0）（A在B的左邊），且x₁+x₂=4．
（1）求b的值及c的取值范圍；
（2）如果AB=2，求拋物線的解析式；
（3）設此拋物線與y軸的交點為C，頂點為D，對稱軸與x軸的交點為E，問是否存在這樣的拋物線，使△AOC≌BED全等，如果存在，求出拋物線的解析式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得：x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的兩根，則△＞0，及根與系數關系可求b的值及c的取值范圍；
（2）由根與系數關系及AB=|x₁-x₂|，可求c的值；
（3）根據圖形的全等分兩種情況，當OC=DE時和當OC=BE時，分別討論．

解答：解：（1）由已知得：x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的兩根，
∴△=b²-4•（-1）•c＞0，x₁+x₂=b，
又x₁+x₂=4，
∴b=4，c＞-4；

（2）由（1）可得y=-x²+4x+c，x₁+x₂=4，x₁•x₂=-c，
而AB=|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，16+4c=4，
解得c=-3，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x-3；

（3）存在；由（1）可得y=-x²+4x+c，
∴C（0，c），D（2，c+4）；
當OC=DE時，|c|=c+4，
解得c=-2，
當OC=BE時，AB=2OC，
即|x₁-x₂|=2|c|，
∴（x₁-x₂）²=4c²；16+4c=4c²
解得c=

1+ 17

2

或

1- 17

2

；
滿足題意的拋物線解析式為：y=-x²+4x+

1+ 17

2

，y=-x²+4x+

1- 17

2

．

點評：本題考查了二次函數圖象和x軸的交點與一元二次方程兩根的關系，掌握用兩根的表達式表示線段的長度，解決全等三角形的問題．