Question

如圖，對稱軸為直線的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）。
（1）求拋物線解析式及頂點坐標；
（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在（2）基礎上試探索：
①當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
②是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由拋物線的對稱軸是，
可設解析式為，
把A、B兩點坐標代入上式，得，
解之，得，
故拋物線解析式為，頂點為；
（2）∵點E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，
且坐標適合，
∴y<0，即-y>0，-y表示點E到OA的距離，
∵OA是的對角線，
∴，
因為拋物線與x軸的兩個交點是（1，0）的（6，0），
所以，自變量x的取值范圍是1＜x＜6；
（3）①根據題意，
當S=24時，即，
化簡，得，
解之，得，
故所求的點E有兩個，分別為E₁（3，-4），E₂（4，-4），
點E₁（3，-4）滿足OE=AE，所以是菱形；
點E₂（4，-4）不滿足OE=AE，所以不是菱形；
②當OA⊥EF，且OA=EF時，是正方形，此時點E的坐標只能是（3，-3），而坐標為（3，-3）的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E，使為正方形。