Question

（2002•西城區）已知：在平面直角坐標系xoy中，點A（0，4），點B和點C在x軸上（點B在點C的左邊），點C在原點的右邊，作BE⊥AC，垂足為E（點E在線段AC上，且點E與點A不重合），直線BE與y軸交于點D．若BD=AC
（1）求點B的坐標；
（2）設OC長為m，△BOD的面積為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當m=5時，求點D的坐標及sin∠BDO的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分兩種情況，
①當B在原點左邊時，利用同角的余角相等，得到∠1=∠2，再證△AOC≌△BOD，得到OA=OB，因為A（0，4），所以B（-4，0）；
②當B在原點右邊時，同①可證OA=OB=4，所以B（4，0）；
（2）分兩種情況：當B在原點左側時，因為△AOC≌△BOD，所以OC=DO=m，即可得到S=OB•OD=2m（0＜m＜4）；當B在原點右側時，同理可得S=2m（m＞4）；
（3）因為m=5時，OD=OC=5，D只能在原點下方，所以D（0，-5），在Rt△BOD中，由勾股定理得BD，即可求出答案．
解答：解：（1）根據題意，分兩種情況：
①當B在原點左邊時，如圖1，
∵∠AOC=∠BOD=90°，∠1+∠3=∠3+∠2，
∴∠1=∠2，
∵AC=BD，
∴△AOC≌△BOD，
∴OA=OB，
∵A（0，4），
∴B（-4，0）；
②當B在原點右邊時，同①可證OA=OB=4，
∴B（4，0）
∴B（-4，0），或（4，0）；

（2）當B在原點左側時，
∵△AOC≌△BOD，
∴OC=DO=m，
∴S=OB•OD=2m（0＜m＜4），
當B在原點右側時，同理可得S=2m，（m＞4），
∴S=2m，（m＞0，m≠4）；

（3）當m=5時，OD=OC=5，
根據題意，D只能在原點下方，
∴D（0，-5），
在Rt△BOD中，由勾股定理得BD=，
∴sin∠BDO=．
點評：本題需仔細分析題意，利用勾股定理和全等三角形即可解決問題．