Question

（2005•資陽）如圖，已知O為坐標原點，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點A的坐標為（2，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）若二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A、B、O三點，求此二次函數的解析式；
（3）在（2）中的二次函數圖象的OB段（不包括點O、B）上，是否存在一點C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB=，過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，利用已知條件可以求出OD，BD，也就求出B的坐標；
（2）根據待定系數法把A，B，O三點坐標代入函數解析式中就可以求出解析式；
（3）設存在點C（x，x²+x），使四邊形ABCO面積最大，而△OAB面積為定值，只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，而|CF|=y_C-y_F=x²+x-x=-x²+x，這樣可以得到S_△OBC=x²+x，利用二次函數就可以求出△OBC面積最大值，也可以求出C的坐標．
解答：解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=，
過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，則OD=，BD=，
∴點B的坐標為（）．（1分）

（2）將A（2，0）、B（）、O（0，0）三點的坐標代入y=ax²+bx+c，
得（2分）
解方程組，有a=，b=，c=0．（3分）
∴所求二次函數解析式是y=x²+x．（4分）

（3）設存在點C（x，x²+x）（其中0＜x＜），使四邊形ABCO面積最大
∵△OAB面積為定值，
∴只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．（5分）
過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，
則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，（6分）
而|CF|=y_C-y_F=x²+x-x=-x²+x，
∴S_△OBC=x²+x．（7分）
∴當x=時，△OBC面積最大，最大面積為．（8分）
此時，點C坐標為（），四邊形ABCO的面積為．（9分）
點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形變換、解直角三角形、利用二次函數探究不規則圖形的面積最大值重要知識點，綜合性強，能力要求極高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．