Question

將兩塊形狀大小完全相同的直角三角板按如圖1所示的方式拼在一起．它們中較小直角邊的長為6cm，較小銳角的度數為30°．

（1）將△ECD沿直線AC翻折到如圖2的位置，連接CF，圖中除了△ABC≌△ECD≌△ECD′外，還有沒有全等的三角形？若有，請指出一對并給出證明．
（2）以點C為坐標原點建立如圖3所示的直角坐標系，將△ECD沿x軸向左平移，使E點落在AB上，請求出點E′的坐標．
（3）若將△ECD繞點C按逆時針方向旋轉到圖4的位置，使E點落在AB上，E′D′交AC于點F，以點C為圓心，CF為半徑作⊙C，請判斷邊E′D′與⊙C的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意：由軸對稱的性質容易證明：△AFE≌△D′FB；
（2）根據平移的性質可知CC′為平移的距離，先求BC′的長度，進而可得點E′的坐標．
（3）通過證明∠CFE′=90°，可得邊E′D′與⊙C的位置關系．

解答：解：（1）△AEF≌△D′BF，（△ACF與△D′CF，△ECF與△BCF．）
證明：∵△ABC≌△D′EC，
∴∠A=∠D′，AC=D′C，BC=EC，
∴AE=D′B
在△AEF與△D′BF中

∠AFE=∠D′FB ∠A=∠D′ AE=D′B

，
∴△AEF≌△D′BF

（2）在Rt△E′BC′中，BC′=2

3

，所以CC′=6-2

3

，所以E′（2

3

-6，6）

（3）E′D′與⊙C相切．理由如下：
∵E′C=BC，且∠ABC=60°，
∴△BCE′為等邊三角形，
∴∠E′CB=60°，
∴∠E′CF=30°，
又∵∠C E′F=60°，
∴∠CFE′=90°，
∴E′D′與⊙C相切．

點評：本題綜合考查了直線與圓的位置關系，全等三角形的判定，坐標與圖形性質，平移、旋轉的性質；平移的基本性質是：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對應點連線的交點是旋轉中心．