Question

如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，點B坐標為（3,0）頂點P的坐標為（1，-4），以AB為直徑作圓，圓心為D，過P向右側作⊙D的切線，切點為C.

【小題1】求拋物線的解析式
【小題2】請通過計算判斷拋物線是否經過點C；
【小題3】設M，N 分別為x軸，y軸上的兩個動點，當四邊形PNMC的周長最小時，請直接寫出M，N兩點的坐標.

Answer 1

【小題1】設拋物線的解析式為 把h=1，k=-4，x=3，y=0帶入，解得a=1……1分  ∴拋物線的解析式為： 即：……2分
【小題2】作拋物線的對稱軸    把y=0代入   解得 x₁=-1，x₂=3
∴A 點坐標為（-1，0） ∴AB=|3-(-1)|=4  ∴OD=2-1=1 ∴D點坐標為（1，0）……1分
而拋物線的對稱軸為直線x=1   ∴點D在直線x=1上
過點C作CE⊥PD,CF⊥x軸，垂足分別為E，F，連結DC  
∵PC是⊙D的切線  ∴PC⊥DC
在Rt△PCD中   ∵cos∠PDC==   ∴∠PDC=60°∴DE=1，CE=
∴C點坐標為（，－1）……2分
把x=帶入得：y="-1" ……1分  ∴點C在拋物線上……1分
【小題3】N（0，），N（，0）……4分（每個2分）解析:
（1）把有關數據代入函數解析式，待定系數法即可求得拋物線解析式。
（2）根據三角函數計算出點C坐標為（，－1），代入已求出的解析式，即可判斷點是否在拋物線上。