Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的高，D是AM上的點，以CD為一邊，在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．

（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；

（2）求證：△AOC≌△BEC；

（3）延長BE交射線AM于點F，請把圖形補充完整，并求∠BFM的度數；

（4）當動點D在射線AM上，且在BC下方時，設直線BE與直線AM的交點為F．∠BFM的大小是否發生變化？若不變，請在備用圖中面出圖形，井直接寫出∠BFM的度數；若變化，請寫出變化規律．

Answer 1

【答案】（1）60°，30°；（2）答案見解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質即可進行解答；

（2）根據等邊三角形的性質就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質就可以∠BCE=∠ACD，根據SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（3）補全圖形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形內角和定理即可求得∠BFM的度數；

（4）畫出相應圖形，可知當點D在線段AM的延長線上且在BC下方時，如圖，可以得出△ACD≌△BCE，進而得到∠CBE=∠CAD=30°，據此得出結論．

試題解析：(1)∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°；

∴線段AM為BC邊上的高，

∴∠CAM=∠BAC=30°，

故答案為：60，30°；

（3）∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE.

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS)；

（3）補全圖形如下：

由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，

∴∠CBE=∠CAM=30°，

∵∠BMF=90°，

∴∠BFM=60°；

（4）當動點D在射線AM上，且在BC下方時，畫出圖形如下：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠CBE=∠CAD=30°，

又∵∠AMC=∠BMO，

∴∠AOB=∠ACB=60°.

即動點D在射線AM上時,∠AOB為定值60°.