Question

【題目】已知：如圖，AB為半圓O的直徑，C是半圓O上一點，過點C作AB的平行線交⊙O于點E，連接AC、BC、AE，EB. 過點C作CG⊥AB于點G，交EB于點H.

（1）求證：∠BCG=∠EBG；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【解析】試題分析：（1）由圓周角定理的推論可知∠ACB=90°，由余角的性質可得∠CAB=∠BCG.根據CE∥AB可證∠CAB=∠ACE，再由等弧所對的圓周角相等可得∠ACE=∠EBG，從而可證明結論成立.

（2）由可得， 設GH=a，利用銳角三角函數的概念表示出GB=2a，CG=4a. 再根據△ECH∽△BGH可求出的值.

證明：（1）∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°.

∵CG⊥AB于點G，

∴∠ACB=∠ CGB =90°.

∴∠CAB=∠BCG.

∵CE∥AB，

∴∠CAB=∠ACE.

∴∠BCG=∠ACE

又∵∠ACE=∠EBG

∴∠BCG=∠EBG.

（2）解：∵

∴，

由（1）知，∠HBG =∠EBG =∠ACE =∠CAB

∴在Rt△HGB中， .

由（1）知，∠BCG =∠CAB

在Rt△BCG中， .

設GH=a，則GB=2a，CG=4a.CH=CG－HG=3a.

∵EC∥AB，

∴∠ECH =∠BGH，∠CEH =∠GBH

∴△ECH∽△BGH．

∴．