Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y=-2x+4分別交x軸、y軸于A，B兩點．點C（-3，0）在x軸上，點Q是x軸正半軸上一動點，過點Q作直線PQ⊥x軸，交直線AB于點P，連接PC，PO．
（1）設△COP的面積為S，求S與x的函數關系式；
（2）點Q在運動過程中，△CQP能否構成等腰直角三角形？若能求出點P坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P（x，-2x+4），根據兩點間的距離公式和三角形面積公式可得S=

1

2

×3×|-2x+4|，再分當0＜x＜2時；當x＞2時；兩種情況討論得到S與x的函數關系式；
（2）根據等腰直角三角形的性質得到PQ=CQ，根據兩點間的距離公式可得CQ=x-（-3）=x+3，PQ=|-2x+4|，再分當0＜x＜2時；當x＞2時；兩種情況討論得到點P坐標．

解答：解：（1）令y=0，則-2x+4=0，解得x=2，
設P（x，-2x+4），則PQ=|-2x+4|，
∵C（-3，0），
∴OC=3，
∴S=

1

2

OC•PQ=

1

2

×3×|-2x+4|，
當0＜x＜2時，S=

1

2

×3×（-2x+4）=-3x+6；
當x＞2時，S=

1

2

×3×（2x-4）=3x-6．
故S=

-3x+6(0＜x＜2) 3x-6(x＞2)

．

（2）∵△CQP是以Q為頂點的等腰直角三角形，
∴PQ=CQ，
CQ=x-（-3）=x+3，
PQ=|-2x+4|，
當0＜x＜2時，x+3=-2x+4，解得x=

1

3

，-2x+4=

10

3

，
∴P（

1

3

，

10

3

）；
當x＞2時，x+3=2x-4，解得x=7，-2x+4=-10，
∴P（7，-10）．
故點P坐標為（

1

3

，

10

3

）或（7，-10）．

點評：本題考查了一次函數綜合題，涉及坐標軸上的點的坐標特征，三角形的面積，兩點間的距離，等腰直角三角形的性質，以及分類思想的運用，難度較大．