Question

【題目】如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，若AB=AC+CD，那么∠ACB與∠ABC有怎樣的數量關系呢？

（1）通過觀察、實驗提出猜想：∠ACB與∠ABC的數量關系，用等式表示為： ．

（2）小明把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：如圖2，延長AC到F，使CF=CD，連接DF．通過三角形全等、三角形的性質等知識進行推理，就可以得到∠ACB與∠ABC的數量關系．

想法2：在AB上取一點E，使AE=AC，連接ED，通過三角形全等、三角形的性質等知識進行推理，就可以得到∠ACB與∠ABC的數量關系．

請你參考上面的想法，幫助小明證明猜想中∠ACB與∠ABC的數量關系（一種方法即可）．

Answer 1

【答案】（1）∠ACB=2∠ABC；（2）答案見解析

【解析】（1）根據已知條件并通過觀察、比較、測量、證明等方法即可猜想出結論；

（2）根據全等三角形的性質和等腰三角形的性質及三角形的外角即可得到結論．

解：（1）∠ACB=2∠ABC

（2）想法1：

∵ AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AF=AC+CF，且CD=CF，

∴AF=AC+CD，

又∵AB=AC+CD，

∴AB=AF，

又∵AD=AD，

∴△ABD≌△AFD，

∴∠B=∠F，

∵CD=CF，

∴∠F=∠CDF，

又∵∠ACB＝∠F+∠CDF，

∴∠ACB＝2∠F，

∴∠ACB＝2∠B.

想法2：

∵ AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

又∵AC=AE，AD=AD，

∴△AED≌△ACD，

∴ED=CD，∠C＝∠AED，

又∵AB=AC+CD，AB=AE+BE，AE=AC，

∴CD=BE，

∴DE=BE，

∴∠B=∠EDB，

又∵∠AED＝∠B+∠EDB，

∴∠AED＝2∠B，

又∵∠C＝∠AED，

∴∠C＝2∠B.