Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，P是斜邊BC的中點，以P為頂點的直角的兩邊分別與邊AB，AC交于點E，F，連接EF．當∠EPF繞頂點P旋轉時（點E不與A，B重合），△PEF也始終是等腰直角三角形，請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：要想證明△PEF始終是等腰直角三角形，得證明∠EPF=90°，PE=PF．證線段相等通常是證明線段所在的三角形全等．而等腰三角形最常用的輔助線是用“三線合一”作輔助線，構造三角形全等．
解答：解：理由如下：
連接PA，
∵PA是等腰△ABC底邊上的中線，
∴PA⊥PC（等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一））．
又AB⊥AC，
∴∠1=90°-∠PAC，∠C=90°-∠PAC，
∴∠1=∠C（等量代換）．
同理可得PA⊥PC，PE⊥PF，
∴∠2=90°-∠APF，∠3=90°-∠APF，
∴∠2=∠3．
由PA是Rt△ABC斜邊上的中線，得：
PA=BC=PC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．
在△PAE和△PCF中，∠1=∠C，PA=PC，∠2=∠3，
∴△PAE≌△PCF（ASA）．
∴PE=PF（全等三角形對應邊相等），
則△PEF始終是等腰直角三角形．
點評：難點是根據所求結論，作出輔助線，找到所對應的三角形全等．