Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，P是線段BC上的一個動點．以AB為直徑作圓O，過點P作圓O的切線交線段AD于點F，切點為E．
（1）求四邊形CDFP的周長．
（2）設BP=x，AF=y，求y關于x的函數解析式．
（3）寫出（2）中函數的自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質，將所求四邊形CDFP的邊轉化為已知正方形ABCD的邊，即可求得；
（2）由PF為圓O的切線，得到OE與PF垂直，由AO=OE，OF為公共邊，利用“HL”的方法即可得到Rt△AOF≌Rt△EOF，故∠AOF=∠EOF，同理得到∠BOP=∠EOP，即可得到∠FOP為90°，由OE與FP垂直，根據兩對對應角相等的兩三角形相似得到Rt△EOF∽Rt△EPO，由相似得出對應邊成比例，即可列出y與x的函數關系式，
（3）根據正方形的邊長為2寫出自變量x的取值范圍即可．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°
∴AF、BP都是⊙O的切線
又∵PF是⊙O的切線
∴FE=FA，PE=PB
∴四邊形CDFP的周長為AD+DC+CB=2×3=6；

（2）連接OE，
∵PF是⊙O的切線
∴OE⊥PF，
在Rt△AOF和Rt△EOF中，
∵AO=EO，OF=OF，
∴Rt△AOF≌Rt△EOF，
∴∠AOF=∠EOF，
同理∠BOP=∠EOP，
∴∠EOF+∠EOP=，
∵PF是⊙O的切線，
∴OE⊥PF，
∴Rt△EOF∽Rt△EPO，
∴OE²=EP•EF，即OE²=PB•AF，
即1²=x•y，
∴y=，

（3）∵y≤2，y=，
∴x≥，BC=2，
∴自變量x的取值范圍是≤x≤2．
點評：此題主要考查了切線的性質和相似三角形的判定，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．并多次運用直角三角形的性質，綜合性強．