Question

已知拋物線：y1=-

1

2

x2+2x將拋物線y₁向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到拋物線y₂，
（1）求拋物線y₂的解析式．
（2）如圖，拋物線y₂的頂點為P，x軸上有一動點M，在y₁、y₂這兩條拋物線上是否存在點N，使O（原點）、P、M、N四點構成以OP為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用二次函數平移的規律解答即可；
（2）假設符合條件的N點存在，利用平行四邊形的性質和三角形全等，找出點N到x軸的距離，即拋物線的縱坐標，代入解析式，解方程解決問題．

解答：解：（1）依題意把拋物線：y1=-

1

2

x2+2x=-

1

2

（x-2）²+2向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到y₂=-

1

2

(x-4)2+3，
整理得y₂=-

1

2

x2+4x-5；

（2）符合條件的N點存在．
如圖：若四邊形OPMN為符合條件的平行四邊形，則OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，作PA⊥x軸于點A，NB⊥x軸于點B
∴∠PAO=∠MBN=90°，
∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵點P的坐標為（4，3），
∴NB=PA=3，
∵點N在拋物線y₁、y₂上，且P點為y₁、y₂的最高點
∴符合條件的N點只能在x軸下方，
①點N在拋物線y₁上，則有：-

1

2

x2+2x=-3
解得：x=2-

10

x=2+

10

②點N在拋物線y₂上，則有：-

1

2

(x-4)2+3=-3
解得：x=4-2

3

或x=4+2

3

∴符合條件的N點有四個：

N1(2- 10 ，-3)；N2(4-2 3 ，-3)； N3(2+ 10 ，-3)；N4(4+2 3 ，-3)

．

點評：此題考查利用平移的規律求二次函數頂點式解析式，利用平行四邊形的性質、三角形的全等與性質以及二次函數圖象上點的坐標特征解決問題．