Question

如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，3），點M從點O出發以每秒2
個單位長度的速度向點A運動，同時點N從點B出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點隨之停止運動．過點N作NP垂直于X軸于點 P，連接AC交NP于點Q，連接MQ，設運動時間為t秒．
（1）一個動點到達終點時，另一個動點的坐標是______；
（2）使線段AQ，QM，MA能圍成三角形的t的取值范圍是______；
（3）求△AQM的面積S與運動時間t（秒）的函數關系式；
（4）是否存在點M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點M從點O出發以每秒2個單位長度的速度向點A運動，
同時點N從點B出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點隨之停止運動．
∴當M移動到A處時，NB=2，
∴動點N的坐標是：（1，3）；

（2）∵AC交NP于點Q，
∴線段AQ，QM，MA要圍成三角形，
∴t的取值范圍是：0＜t＜2；

（3）S_△AMQ=AM•PQ=（4-2t）（1+t）=-t²+t+2．

（4）存在使△AQM為直角三角形的點M．
∵∠AOC=90°，OA=OC，
∴∠OAC=45°
即點A不可能為Rt△AQM的直角頂點．
①當點Q為直角頂點時．（如圖①）
∵∠MQA=90°，∠MAQ=45°∴MQ=QA
∵QP⊥AM，
∴AP=MP=PQ，
即，
∴則M（1，0）．
②當點M為直角頂點時．（如圖②）
∵∠QMA=90°，∠MAQ=45°，
∴MQ=MA
即4-2t=t+1，
∴t=1，則M（2，0）．
綜上所述：點M的坐標為（1，0）或（2，0）．
分析：（1）根據M，N運動的速度可以得出，當M移動到A處時，NB=2，進而得出N點坐標；
（2）根據線段AQ，QM，MA能圍成三角形，進而得出t的取值范圍；
（3）由三角形面積公式直接寫出含有t的二次函數關系式；
（4）分類討論直角三角形的直角頂點，然后解出t，求得M坐標．
點評：此題主要考查了直角梯形的性質以及函數關系式求法等知識點，結合圖形的面積，滲透分類討論的思想，使問題綜合性增強．