Question

已知．如圖，BC為半圓O的直徑，F是半圓上異于B、C的一點，A是的中點，AD⊥BC于點D，BF交AD于點E．
（1）求證：BE•BF=BD•BC；
（2）試比較線段BD與AE的大小，并說明道理．

Answer 1

（1）證明：連接FC，則BF⊥FC
∵∠BFC=∠BDE=90°，∠FBC=∠EBD
∴△BDE∽△BFC
∴BE：BC=BD：BF
∴BE•BF=BD•BC

（2）解：AE＞BD．理由如下：
連接AC，AB，則∠BAC=90°
∵A是的中點
∴∠ABF=∠ACB
∵∠ACB+∠ABC=90°，∠BAD+∠ABC=90°
∴∠ACB=∠BAD
∴∠BAD=∠ABF
∴BE=AE
∵BE＞BD
∴AE＞BD
分析：（1）連接FC，根據有兩組角相等的兩個三角形相似得到△BDE∽△BFC，根據相似三角形的對應邊成比例即可得到結論．
（2）連接AC，AB，根據圓周角定理及余角的性質可得到BE=AE，由已知可知BE＞BD，從而就得到AE＞BD．
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定及圓周角定理等知識點的綜合運用．